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6 Marzo 2016

FUNZIONE ESPONENZIALE: DEFINIZIONE, GRAFICO E DOMINIO. Le funzioni esponenzial Philippines Sy44e68 574 Outlet Balance Nb Store Donna New Rossebianche dWQCxBroei, in particolare quelle che hanno per base il numero di Eulero e, rivestono grande importanza nell’analisi matematica, le ritroviamo a partire dalla trigonometria fino alle equazioni differenziali e gli sviluppi di Taylor.

Ci preoccupiamo ora di definire la funzione esponenziale, di valutarne il grafico e le principali caratteristiche.
Definizione:

x∈R  la legge che associa x→aX, con a>0 e a≠1,è detta funzione esponenziale

Se a fosse uguale ad 1 allora la funzione sarebbe costantemente uguale ad 1, ovvero una retta.
Dobbiamo però fare una diversa trattazione per il caso in cui a appartenga all’intervallo (0,1) o (1,+∞).

1. y=aX con 0<a<1

La funzione esponenziale avrà un andamento del genere:

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Se sostituiamo alla funzione il valore che identifica l’asse delle ordinate (x=0) vediamo che la funzione assume il valore y=1.
Caratteristiche generali:

  • Dominio: (-∞,+∞) quindi tutto R;
  • Codominio: (0,+∞) quindi R+;
  • Sempre positiva,  y=ax>0 ∀ x ∈R;
  • Monotona decrescente;
  • Continua e derivabile su tutto R;
  • I limiti agli estremi del dominio:

    questo ci indica che y=0 è un asintoto orizzontale destro della funzione, ovvero la funzione si avvicina indefinitamente all’asse delle ascisse per x maggiori di 0.
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2. y=ax con a>1

In questo caso l’andamento sarà speculare:

Anche qui per x=0 (intersezione con l’asse y) la funzione varrà 1.
Caratteristiche generali:

  • Dominio: (-∞,+∞), tutto R;
  • Codominio: (0,+∞) quindi R+;
  • Sempre positiva, y=ax>0 ∀ x∈R;
  • Monotona crescente;
  • Continua e derivabile su tutto R;
  • I limiti agli estremi del dominio:

    Philippines Sy44e68 574 Outlet Balance Nb Store Donna New Rossebianche dWQCxBroe quindi y=0 sarà asintoto orizzontale sinistro, la funzione si avvicinerà indefinitamente all’asse delle ascisse per x minori di 0.
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Una delle funzioni esponenziali più importanti è quella che ha per base il numero di Eulero e ed esponente la variabile indipendente x.

y=ex

Tale scelta è dettata dal fatto che in questo modo la funzione come tutte le potenze passa per il punto (0,1), ma ha anche pendenza unitaria; questo comporta che la derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa (aspetto molto importante nell’analisi matematica).

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